Fizikte ve istatistikte temel bir yasa olarak kabul edilen Boltzmann dağılımı, karmaşık ve rastgele görünen sistemleri anlamlandırmanın en önemli araçlarından biri. Havadaki moleküllerin sürekli ve öngörülemez hareketlerinden, bir insanın gün içinde verdiği küçük tercihlere kadar pek çok olgu, tek tek bakıldığında kaotik görünüyor. Ancak fizikçiler bu kaosu, “hangi durumun ne kadar olasılıkla ortaya çıkacağını” tanımlayan Boltzmann dağılımı sayesinde yönetilebilir hale getiriyor. Bir zarın bir kez atıldığında hangi sayının geleceği bilinemezken, çok sayıda atışta her sayının yaklaşık eşit sıklıkta gelmesi günlük hayattan en basit örneklerden biri.
19. yüzyılın ikinci yarısında Avusturyalı fizikçi ve matematikçi Ludwig Boltzmann tarafından geliştirilen bu dağılım modeli, günümüzde yalnızca fizikte değil, yapay zeka, biyoloji ve ekonomi gibi alanlarda da kullanılıyor. Ekonomide aynı matematiksel yapı “multinomial logit” adı altında tüketici davranışlarını modellemek için tercih ediliyor. Yeni bir teori, bu yerleşik yasanın neden bu kadar evrensel olduğuna dair yeni bir matematiksel kanıt ortaya kondu.
Sicherman zarlarıyla tüm olasılıklar hesaplandı
Caltech’ten ekonomi ve matematik profesörü Omer Tamuz ile Princeton Üniversitesinden ekonomi profesörü Fedor Sandomirskiy, Boltzmann dağılımının birbirinden bağımsız, yani ilişkisiz sistemleri tutarlı şekilde tanımlayabilen tek teori olduğunu gösterdi. Araştırma, matematik alanının prestijli dergilerinden Mathematische Annalen’de yayınlandı. Teorisyenlere, eğer iki olay gerçekte birbiriyle ilişkili değilse, iyi bir teorinin bu ilişkisizliği koruması gerekiyor.
Bunu günlük bir örnekle açıklamak mümkün. Bir ekonomistin, bir tüketicinin iki farklı kahvaltılık markası arasından nasıl seçim yaptığını incelediğini düşünelim. Kurulan model, bu seçimin, aynı kişinin marketin başka bir reyonunda hangi bulaşık deterjanını aldığından etkilenmediğini varsaymalı. Eğer model, deterjan seçiminin tahıl tercihine etki ettiğini ima ediyorsa, burada bir mantık hatası olduğu anlaşılır. Tamuz Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü’ne (CALTECH) verdiği demeçte, “İlgisi olmayan ek seçimleri izlemek istemeyiz. Asıl soru, bu ilgisiz seçimleri modele eklediğimizde, tahminlerin değişmeden kalıp kalmadığıdır,” dedi.
Bağımsızlık ilkesini korudu
Araştırmacılar, bu noktada şu soruyu sordu: Boltzmann dağılımı dışında, bu “bağımsızlığı koruma” özelliğini taşıyan başka teoriler var mı? Eğer varsa, belki de fizik ve ekonomide farklı modeller kullanmak mümkün olabilirdi. Ancak eğer yoksa, bu durum Boltzmann dağılımının neden yüz yıldan uzun süredir vazgeçilmez olduğunu da açıklayacaktı.
Bu soruya yanıt ararken, Tamuz ve Sandomirskiy meseleyi zar örneği üzerinden somutlaştırdı. Tek bir zar atıldığında sonuç rastgeledir; 1 de gelebilir, 6 da. Zarı defalarca attığınızda, her sayının yaklaşık altı atışta bir gelmeye başladığını görürsünüz. Bu, tek bir zarın olasılık dağılımıdır. İki zar atıldığında gelen sayıların toplamına bakıldığında tablo değişir: 2 yalnızca 1+1 ile elde edildiği için çok nadirdir, 7 veya 8 gibi sayılar ise birden fazla kombinasyonla oluşur ve daha sık görülür. Önemli nokta şu: Bir zar atıldığında çıkan sonuç, diğer zarın sonucuna dair hiçbir bilgi vermez. Sistemler bağımsızdır.
İşte bu bağımsızlık ilkesini test etmek için “çılgın” olarak anılan Sicherman zarları devreye giriyor. 1977’de George Sicherman tarafından geliştirilen bu zarlar, standart zarlar gibi 1’den 6’ya kadar numaralandırılmamış. Zarların biri 1, 2, 2, 3, 3 ve 4; diğeri ise 1, 3, 4, 5, 6 ve 8 sayılarını taşır. Tek tek bakıldığında oldukça tuhaf görünür. Ancak iki zar birlikte atılıp yalnızca toplamlarına bakıldığında, ortaya çıkan olasılık dağılımı standart zarlarla tamamen aynıdır.
Araştırmacılar bu özelliği, alternatif teorileri elemek için kullandı. Eğer bir teori, normal zarlarla Sicherman zarları arasındaki bu eşdeğerliği bozuyorsa, yani toplamların dağılımını farklı gösteriyorsa, bu teori bağımsız sistemleri yanlış tanımlıyor demekti. Tamuz ve Sandomirskiy, Sicherman zarları benzeri matematiksel olarak tanımlanmış başka “tuhaf zar” çiftleri de geliştirerek, sonsuz sayıda olası teoriyi sınadı. Sonuçta, tüm bu testlerden yalnızca Boltzmann dağılımı başarıyla çıktı.
Çalışma, matematiksel olarak polinomlar üzerinden ifade ediliyor. Zar yüzlerindeki sayılar, x’in farklı kuvvetleriyle yazılan fonksiyonlara dönüştürülüyor ve bu fonksiyonların çarpımı, zarların toplam dağılımını temsil ediyor. Normal ve Sicherman zarları için bu çarpımlar aynı sonucu verdiğinde, sistemlerin bağımsızlığı da matematiksel olarak korunmuş oluyor.
Sandomirskiy’e göre bu çalışma, yüz yıldır bilinen bir kavrama yeni bir pencere açıyor. Boltzmann dağılımının yalnızca işe yarayan bir yaklaşım değil, aynı zamanda mantıksal olarak kaçınılmaz olduğunu gösteren bu sonuç, fizik ile ekonominin ortak matematiksel zeminini bir kez daha ortaya koyuyor.
Kaynak: CALTECH