Yapay zekanın bilimsel araştırmalardaki rolü giderek büyürken, bu kez dikkat çeken gelişme matematik dünyasında yaşandı. Yapay zeka şirketi Anthropic’te çalışan Türk matematikçi Levent Alpöge, sosyal medya platformu X’te yaptığı kısa bir paylaşımla yaklaşık 140 yıldır çözülemeyen Jacobian varsayımına (Jacobian conjecture) karşı bir örnek bulduğunu duyurdu. Alpöge, bu sonuca Anthropic’in kısa süre önce kullanıma sunduğu büyük dil modeli Claude Fable 5 ile ulaştığını açıkladı.
Matematikte varsayım (conjecture), doğru olduğuna inanılan ancak henüz kesin olarak kanıtlanamayan veya yanlışlığı gösterilemeyen önermeleri ifade ediyor. Jacobian varsayımı da cebirsel geometri alanının en önemli açık problemlerinden biri olarak kabul ediliyordu.
Bu varsayım, polinom fonksiyonları adı verilen özel matematiksel ifadelerle ilgili. Polinomlar; toplama, çıkarma, çarpma ve değişkenlerin tam sayı kuvvetlerinden oluşan denklemler olarak tanımlanıyor. Bu fonksiyonlar, uzaydaki noktaların koordinatlarını başka koordinatlara dönüştüren birer matematiksel dönüşüm gibi düşünülebiliyor.
Bir X paylaşımıyla başlayan keşif, Jacobian varsayımını yeniden tartışmaya açtı
Bu dönüşümlerin ne kadar “düzenli” çalıştığını ölçmek için ise Jacobian determinantı adı verilen bir matematiksel büyüklük hesaplanıyor. Eğer bu determinant her noktada sıfırdan farklı sabit bir değer alıyorsa, dönüşümün uzayı katlamadığı veya bazı bölgeleri tek bir noktaya sıkıştırmadığı kabul ediliyor.
Jacobian varsayımı da tam bu noktada devreye giriyor. Varsayıma göre Jacobian determinantı sıfırdan farklı sabit olan her polinom dönüşümünün mutlaka yine polinomlardan oluşan bir ters dönüşümü bulunmalı. Başka bir ifadeyle, dönüştürülen her nokta eksiksiz biçimde eski yerine geri götürülebilmeli.
Ancak Alpöge’nin bulduğu örnek bunun her zaman doğru olmadığını gösteriyor. Üç boyutlu bir polinom dönüşümünde Jacobian determinantı sabit olmasına rağmen farklı başlangıç noktalarının aynı sonuca ulaştığı, yani dönüşümün tersinin oluşturulamadığı ortaya kondu. Bu durum, Jacobian varsayımının üç ve daha yüksek boyutlarda geçerli olmadığını gösteriyor. Buna karşın, varsayımın ilk ortaya atıldığı iki boyutlu durum için problem halen çözülebilmiş değil.
Jacobian varsayımı ilk olarak 1884 yılında Çek matematikçi Ludwig Kraus tarafından iki boyut için ortaya atıldı. Daha sonra Alman matematikçi Ott-Heinrich Keller, 1939 yılında bunu tüm boyutlara genelleştirdi. Problem, öneminden dolayı Fields Madalyası sahibi Stephen Smale’in 1998 yılında hazırladığı “Yeni Yüzyılın Matematik Problemleri” listesinde de yer aldı.
Geçmişte birçok matematikçi varsayımı kanıtladığını öne sürse de çalışmaların tamamında daha sonra hatalar tespit edildi. Buna rağmen belirli özel durumlar için varsayımın doğru olduğu gösterildi ve bilgisayar destekli hesaplamalar iki boyutlu polinomlarda belirli derecelere kadar varsayımı doğruladı. Ancak genel durum ne kanıtlanabilmiş ne de yanlışlanabilmişti.
Araştırmacılara göre bu keşfi dikkat çekici yapan nokta, karşı örneğin son derece kısa olması. Hatta kullanılan polinom fonksiyonu tek bir X paylaşımına sığacak kadar basit. Bu nedenle diğer matematikçiler sonucu kısa sürede bağımsız olarak doğrulayabildi.
Son yıllarda büyük dil modelleri matematikte giderek daha fazla rol üstlenmeye başladı. Daha önce de bazı yapay zeka sistemleri, uzun yıllardır çözülemeyen problemlere ilişkin yeni ispatlar veya karşı örnekler geliştirilmesine katkı sağlamıştı. Ancak Jacobian varsayımı örneği, yapay zekanın yalnızca karmaşık matematiksel ispatlar üretmekte değil, milyonlarca olasılık arasından beklenmedik matematiksel yapıları keşfetmede de etkili olabileceğini gösteriyor.
Araştırmacılar, bu gelişmenin yapay zekanın gelecekte matematiksel keşiflerde üstleneceği rolün yeniden değerlendirilmesine yol açabileceğini belirtiyor.
Kaynak: The Conversation