Calcea Johnson ve Ne’Kiya Jackson isimli iki liseli genç, Pisagor Teoremini trigonometri ile açıklayarak 2 bin yıllık Pisagor tarihinde bir ilke imza attı.
ABD New Orleans’ta iki liseli genç, 2022 yılında katıldıkları matematik yarışmasında, Pisagor teoremini trigonometri ile açıklayarak tüm öğretmenlerini hayrete düşürdü. 2 yıl süren çalışmaların ardından genç matematikçiler, 27 Ekim 2024’te The American Mathematical Monthly dergisinde buldukları yöntemi açıklayan bir makale yayınladı. Pisagor Teoremini kanıtlayan 300’den fazla bilimsel makale bulunsa da, trigonometri ile açıklanması imkansız olarak görülüyordu. Bunun sebebi ise trigonometrinin Pisagor üzerine kurulu olması, ve bu iki teorinin birbirine paradoksal bir biçimde bağlı olmasıydı.
Pisagor teoremi ne işimize yarıyor?
Geometri, yaklaşık MÖ 3000’lerde Mısır ve Mezopotamya’da arazi ölçümü gibi pratik ihtiyaçlarla ortaya çıkıyor ve zamanla Antik Yunan’da bir bilim dalı olarak şekilleniyor. Geometri tarihinde, MÖ 6. yüzyılda Pisagor Teoremi temel bir köşe taşı olarak kabul ediliyor ve bugün bile eğitimde geniş bir yer buluyor. Bu teorem, dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu ifade ediyor ve formülüyle tanınıyor:
a² + b² = c²
Burada a ve b dik kenarları, c ise hipotenüsü temsil ediyor. İlk olarak Antik Yunan matematikçisi Pisagor tarafından geliştirilen bu ilke, antik çağlardan günümüze kadar yapıların, mühendislik projelerinin ve astronomik hesaplamaların temeli olmayı sürdürüyor. Samoslu bir düşünür ve matematikçi olan Pisagor, matematiğin yanı sıra felsefe ve müziğe dair çalışmalarıyla da tanınıyor. Mısır ve Babil gibi medeniyetlerde benzer yöntemlerin kullanıldığı bilinse de, Pisagor’un sistematik yaklaşımıyla geometriye yeni bir derinlik kazandırdığı görülüyor.
Pisagor Teoremi, matematiksel düşünceyi somutlaştırarak hem bilim hem de mühendislik alanında yeni kapılar aralıyor. Bu teorem, dik üçgenlerle sınırlı gibi görünse de, iki boyutlu uzayda (sadece yatay ve dikey eksenleri içeren yüzey, koordinat sistemi) mesafe ölçümünden mimari yapılara, modern GPS teknolojisinden haritacılığa kadar pek çok alanda geniş bir uygulama alanı buluyor. Esas önemi, karmaşık problemleri sade ve anlaşılır bir yöntemle çözebilmesinde yatıyor. Pisagor Teoremi, geometrinin sistematik bir bilim dalı olarak gelişmesine zemin hazırladı ve matematiksel kuramların günlük hayatta nasıl kullanılabileceğini göstererek bilime pratik bir değer kazandırdı.
Trigonometri
Trigonometri, Antik Yunan’da, özellikle astronomi çalışmalarında, Pisagor Teoreminin ortaya koyduğu bağıntıyı genişleterek gelişiyor. Trigonometri kelimesi, Yunanca “üçgen” anlamına gelen trigonon (tri- “üç” ve gonia “açı”) ile “ölçüm” anlamına gelen metron kelimelerinin birleşiminden türetiliyor. Pisagor Teoremi’ni esas alan matematikçiler, dik üçgenlerde açı-kenar ilişkilerini incelemeye başlıyorlar; ve böylece sinüs, kosinüs ve tanjant gibi trigonometrik oranlar tanımlanıyor. Bu oranlar, dik üçgenin açılarının karşısındaki veya komşu kenarlara göre ifade ediliyor:
– Sinüs (sin): Bir açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranı, yani `sin(θ) = karşı kenar / hipotenüs`.
– Kosinüs (cos): Bir açının komşu kenarının hipotenüse oranı, yani `cos(θ) = komşu kenar / hipotenüs`.
– Tanjant (tan): Bir açının karşısındaki kenarın komşu kenara oranı, yani `tan(θ) = karşı kenar / komşu kenar`.
Bu oranlar sayesinde, dik üçgenlerde yalnızca bir kenar ve bir açıyı bilerek diğer kenar ve açıları hesaplamak mümkün hale geliyor. Pisagor Teoremi, trigonometri için sağlam bir temel oluşturuyor ve dik üçgenlerin çözümlemelerinde büyük kolaylık sağlıyor.
Yumurta mı tavuktan, tavuk mu yumurtadan?
Trigonometri ve Pisagor Teoremi arasındaki paradoksal ilişki, her iki alanın temel birimlerini ve kullanım amaçlarını sorgulatıyor. Pisagor Teoremi, dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki sabit bir ilişkiyi ortaya koyarken, trigonometri bu ilişkiyi açılarla ilişkilendirerek daha geniş bir perspektif sunuyor. İlk bakışta, Pisagor Teoremi’nin basit bir geometrik bağıntı sunması, trigonometriyi daha karmaşık bir alan haline getiriyor gibi görünse de, aslında ikisi birbirini tamamlayarak çalışıyor.
Örneğin, Pisagor Teoremi, bir dik üçgende kenar uzunluklarını bilmemiz durumunda hipotenüsü bulmamıza olanak tanırken, trigonometri açılar ve kenar uzunlukları arasındaki oranları kullanarak, yalnızca bir açı ve bir kenar ile diğer kenarları ve açıları hesaplamamıza imkan tanıyor. Bu durum, matematiksel ilişkilerin derinliğini ve genişliğini göstererek, başlangıçta basit görünen bir ilişkiyi çok katmanlı hale getiriyor. Trigonometrinin Pisagor Teoremi temeliyle oluşturulması, bu iki sistemi paradoksal bir biçimde birbirine bağlıyor. Bu sebeple yaklaşık 2000 yıllık Pisagor Teoreminin trigonometri ile açıklanması imkansız olarak görülüyordu.
Nasıl başardılar?
Calcea Johnson ve Ne’Kiya Jackson, Pythagor Teoremi’ni trigonometri ile açıklayarak bu imkansızı başarırken çok ilginç ve yaratıcı yöntemler geliştirdiler. Çalışmalarında, bir dik üçgenin etrafına bir çember çizerek başladılar. Bu çember, dik üçgenin kenarlarını ve açılarını görselleştirmelerine yardımcı oldu. Çemberin merkezi, dik açının tepe noktasında yer alırken, çemberin çapı, üçgenin hipotenüsünü oluşturuyordu. Bu yaklaşım, öğrencilerin çemberin ve üçgenin ilişkisini daha iyi anlamalarına ve çeşitli trigonometrik ilişkileri keşfetmelerine olanak tanıdı.
İlk olarak, öğrenciler, dik üçgenin içindeki açıların trigonometrik oranlarını kullanarak, çemberin içinde yeni dik üçgenler oluşturdular. Örneğin, çemberin yarıçapını r olarak kabul ettiklerinde, dik üçgenin hipotenüsü çemberin çapına eşit oluyor. Bu durumda, üçgenin kenar uzunlukları ile açıları arasındaki ilişkileri tanımlayan trigonometrik oranları kullanarak aşağıdaki eşitliği elde ettiler:
sin(θ)2 + cos(θ)2 = r2
Burada a ve b dik kenarlar, r ise çemberin yarıçapı.
Ardından, öğrenciler, dik üçgenin içinde daha küçük dik üçgenler çizerek, bu üçgenlerin açılarını ve kenar uzunluklarını ilişkilendirdiler. Her bir yeni dik üçgende, sinüs ve kosinüs oranlarını kullanarak, büyük üçgenin kenar uzunluklarıyla ilişkili yeni eşitlikler oluşturmayı başardılar. Örneğin, üçgenin bir köşesinden aşağıya inen yükseklik, sinüs oranını kullanarak belirli bir kenar uzunluğunu ifade ediyordu:
h = a⋅sin(θ)
Bu, daha küçük dik üçgenler ile büyük dik üçgen arasında bir ilişki kurmalarına yardımcı oldu.
Bu yaratıcı yaklaşım, öğrencilerin matematiksel düşünme becerilerini geliştirmelerine olanak sağlarken, aynı zamanda daha geniş bir kitleye matematiksel kavramların nasıl keşfedilebileceğine dair ilham veriyor. Öğrencilerin Pisagor Teoremini trigonometri ile kanıtlamaları, matematik eğitiminin yenilikçi yönlerini vurgularken, diğer genç matematikçilerin de bu alanda düşünmelerine ve yeni yöntemler geliştirmelerine cesaret veriyor.
