Matematikte iki yeni sonsuzluk keşfi

Viyana Teknik Üniversitesi’nde görev yapan araştırmacı Juan P. Aguilera liderliğindeki uluslararası bir ekip, “kesin” ve “süper kesin” olarak adlandırılan iki yeni sonsuzluk türü keşfetti. Bu buluş, matematiksel teorilerde yeni tartışmalar açarken, keşfedilen türlerin bilinen matematiksel hiyerarşiyle tam olarak örtüşmediği ve kendini yeniden üretebilen (kendi kopyalarını oluşturabilen) yapılar olduğu belirtiliyor.

Antik Çağ’da Hintli ve Yunan filozoflarının tartıştığı sonsuzluk kavramı, modern anlamda ilk kez 19. yüzyılda Alman matematikçi Georg Cantor tarafından sistematik bir şekilde ele alındı. Cantor, sonsuz sayılar arasında büyüklük farkları olduğunu keşfetti ve Aleph-null (ℵ₀, doğal sayılar kümesinin büyüklüğünü ifade eden bir terim) ile “sayılabilir sonsuzluk” olarak bilinen bir türü tanımladı. Daha sonra aleph-one (ℵ₁, gerçek sayılar gibi daha büyük bir kümenin büyüklüğünü ifade eden bir terim) adını verdiği “sayılabilir olmayan sonsuzluk” kavramını ortaya koydu. Kesin ve süper kesin olarak adlandırılan yeni türler ise bu tanımlara yeni bir anlayış kazandırıyor.

Kesin kardinaller, matematikte son derece büyük ve karmaşık yapılar olarak tanımlanıyor. Bu tür kardinaller, kendi içlerinde, temel özelliklerini taşıyan daha küçük yapılar barındırıyor. Matematikte “kendini yeniden üretebilme” olarak ifade edilen bu durum, bir yapının kendi özelliklerini içeren alt düzenlere sahip olabilme kapasitesini anlatıyor. Örneğin, bir kitabın içinde kendi özetinin bulunması, kitabın daha küçük bir formatta kendisini temsil etmesine benzetilebilir. Kesin kardinaller de bu şekilde, kendi yapısal özelliklerini yeniden oluşturabilen matematiksel düzenler içeriyor.

Juan Aguilera ve ekibi, kesin ve süper kesin kardinallerin bu özelliklerini inceleyerek, bu yapıların büyüklük ve karmaşıklıklarının alışılmış matematiksel kavramlardan farklı olduğunu ortaya koydu. Süper kesin kardinaller, kesin kardinallerin ötesine geçerek çok daha karmaşık matematiksel kuralları ve ilişkileri içerdiğini belirtti.. Araştırma, sonsuzluk kavramlarının doğrusal bir hiyerarşi (aşamalı bir düzen) içinde açıklanamayacağını ve bu türlerin geleneksel matematiksel tanımlardan farklı bir anlayış gerektirdiğini gösteriyor. Bu keşif, matematikte sonsuzluk ve büyük kardinaller teorisine yeni bir bakış açısı sunuyor.

Sonsuzluk kavramına uymayan sonsuzluklar 

Araştırma süreci, matematiğin temel ilkelerinden biri olan Seçim Aksiyomu’nu (farklı kümelerden eleman seçilerek yeni bir küme oluşturulmasını ifade eden matematiksel ilke) da sorgulatacak sonuçlar ortaya koydu.

Seçim Aksiyomu, sonsuzluk kavramlarını düzenlemek için üç ana kategori tanımlıyor: Aksiyoma uyan sonsuzluklar, kaotik düzeyde büyük sonsuzluklar ve bu ikisi arasında yer alan sonsuzluk türleri. Kesin ve süper kesin kardinallerin (bir kümenin büyüklüğünü ifade eden matematiksel terim) bu kategorilere tam olarak uymadığı düşünülüyor. 

Araştırmalar sırasında, sonsuzluk hiyerarşisinin bilinen sınırlarını değiştiren yeni türlerin özellikleri matematiksel olarak modellenerek doğrulandı. Keşfi gerçekleştiren ekip, bu buluşun, matematiksel sınırların çok daha karmaşık bir boyuta taşındığını ve bu türlerin matematikteki mevcut teorilere yeni bir yön verebileceğini ifade ediyor.

Kaynak: NewScientist