Matematiğe göre rastlantısallık imkansız

Franklin Open dergisinin Kasım-Aralık sayısında yayınlanan yeni bir araştırma, popüler “Sonsuz Maymun Teoremi”nin pratik imkansızlığını matematiksel olarak kanıtlıyor. University of Technology Sydney’den araştırmacılar Stephen Woodcock ve Jay Falletta’nın çalışması, sonsuz zaman ve olasılık kavramlarının gerçek dünyada ne anlama geldiğini yeniden sorgulatıyor.

Sonsuzluk kavramının en ilginç uygulamalarından biri olan Sonsuz Maymun Teoremi, rastlantısallık ve olasılık kavramlarını çarpıcı bir şekilde ortaya koyuyor. Teorem, sonsuz sayıda maymunun sonsuz süre boyunca rastgele tuşlara basması durumunda, Shakespeare’in tüm eserlerini hatta dünya üzerinde yazılmış ve yazılabilecek tüm metinleri üretebileceğini öne sürüyor. Bu teorem, ilk kez 1913’te Émile Borel tarafından matematiksel olarak formüle ediliyor. Borel, sonsuzluk kavramını anlaşılır kılmak için bu düşünce deneyini ortaya atıyor. Arthur Eddington 1929’da teoriyi popülerleştiriyor ve maymun metaforunu ekliyor.

Franklin Open dergisinde yayınlanan makaleye göre araştırmacılar, bir şempanzenin saniyede bir tuşa basarak 30 tuşlu bir klavyede yazı yazması senaryosunu ele alıyor. Şempanzelerin 30 yıllık ortalama ömrü, dünyadaki 200 bin şempanze popülasyonu ve evrenin ısı ölümüne kadar geçecek 10¹⁰⁰ yıllık süre gibi gerçekçi parametreler kullanılarak yapılan hesaplamalar, çarpıcı sonuçlar ortaya koyuyor. “Bananas” gibi basit bir kelimenin bile tek bir şempanzenin ömründe yazılma olasılığı sadece yüzde 5 çıkarken, Shakespeare’in tüm eserlerinin rastgele yazılması için gereken tuş vuruşu sayısı, evrenin ömründe mümkün olan toplam tuş vuruşu sayısını katbekat aşıyor.

Makalede, sınırlı sayıda maymunun ve belirli bir süre içinde hedef bir dizeyi yazma olasılığı üzerine ayrıntılı matematiksel kanıtlar sunuluyor. Olasılığın hesaplanmasında K farklı tuş içeren bir klavyede, bir maymunun N vuruşta belirli uzunlukta L bir diziyi üretme ihtimali inceleniyor. Kombinasyon hesaplaması için, (N – L + 1)K^{N – L} gibi formüller kullanılarak bu olasılık hesaplanıyor. Olası tekrar sayımları ve dizinin çok kez ortaya çıkma durumları da dahil edilerek dahil etme-çıkartma prensibi uygulanıyor. “N – L + 1” ifadesi, hedef dizenin L uzunluğundaki dizenin N uzunluğundaki bir dize içerisinde kaç farklı konumda başlayabileceğini temsil ediyor. Başka bir deyişle, L uzunluğundaki hedef dize, N uzunluğundaki ana dizenin ilk karakterinden başlayarak en son N – L + 1. pozisyona kadar yerleştirilebilir. Bu ifade, hedef dizenin tüm olası başlangıç pozisyonlarını kapsıyor ve tüm kombinasyonları sayıyor.

Bu bulgular, sonsuzluk kavramını içeren teorilerin sonlu bir evrende yanıltıcı sonuçlar verebileceğini gösteriyor. Çalışma, Zeno’nun paradoksları ve St. Petersburg paradoksu gibi, sonsuz kaynaklarla elde edilen sonuçların, sonlu kaynaklarla elde edilenlerle nasıl çelişebildiğini ortaya koyuyor. Araştırmacılar, bu durumun deterministik ve rastlantısal evren tartışmalarına da yeni bir boyut kazandırdığını belirtiyor.

Çalışmanın modern yapay zeka tartışmalarına da önemli katkısı bulunuyor. GPT gibi dil modellerinin rastgele değil, öğrenilmiş örüntüler üzerinden çalışması, insan yaratıcılığının ve bilişsel süreçlerin değerini yeniden gündeme getiriyor. Araştırmacılar, bilinçli yaratım ile rastgele üretim arasındaki farkın önemini vurgulayarak, Shakespeare’in Hamlet’inden alıntıladıkları gibi, maymunların anlamlı metinler üretip üretemeyeceği sorusuna net bir “hayır” cevabı veriyor.

Bu araştırma, popüler kültürde yaygın olan bir inanışı çürütmenin ötesinde, sonsuzluk kavramının pratikte nasıl yanıltıcı olabileceğini göstererek matematik ve felsefe alanlarına önemli bir katkı sağlıyor. Aynı zamanda yapay zeka çağında yaratıcılık ve bilinç tartışmalarına da yeni bir perspektif getiriyor.

Sonsuz maymun teorisine dek…

Sonsuzluk kavramı fizikte devrim niteliğinde tartışmaları beraberinde getiriyor. İlk sistemli sorgulamayı yapan Antik Yunan filozofu Zeno’nun ünlü paradoksları, sonsuz bölünebilirlik fikrini sorguluyor: Aşil’in kaplumbağayı asla yakalayamama paradoksunda, kaplumbağaya doğru gidilen her adımda mesafenin yarısı alınıyor ve teorik olarak hedefe asla ulaşılamıyor. Bir ok paradoksunda ise, yaydan fırlatılan bir okun her an belirli bir noktada hareketsiz olduğunu, dolayısıyla hareketin imkansız olduğunu öne sürüyor.

17. yüzyılda Newton ve Leibniz, bu paradoksları çözen diferansiyel ve integral hesabını (kalkülüs) geliştiriyor. Kalkülüs, sonsuz küçük değişimleri matematiksel olarak ele almayı mümkün kılıyor. Örneğin bir arabanın anlık hızını hesaplarken, zaman aralığını sonsuz küçülterek (ölçüm aralığını giderek küçültmek) kesin sonuca ulaşılıyor. Bu, Zeno’nun paradokslarına matematiksel bir çözüm getiriyor: Sonsuz sayıda adımın toplamı sonlu bir değere ulaşabiliyor.

Maxwell’in Şeytani (Maxwell’s Demon) düşünce deneyi, termodinamiğin ikinci yasasını sorgulamak için 1867’de James Clerk Maxwell tarafından ortaya atılıyor. Deneyde, mikroskobik boyutta çalışan hayali bir “şeytan”, bir bölmede bulunan gaz moleküllerini hızlı ve yavaş olarak ayırıyor – hızlı molekülleri bir tarafa, yavaş olanları diğer tarafa gönderiyor. Bu teorik senaryo, entropi yasasına meydan okuyor çünkü sistemi düzensizlikten düzene doğru yönlendiriyor. Ancak modern fizik, bu şeytanın bilgi toplaması ve işlemesi için enerji harcaması gerektiğini, dolayısıyla yine de termodinamiğin ikinci yasasının geçerli olduğunu gösteriyor.

Boltzmann Beyni kavramı ise Ludwig Boltzmann’ın termodinamik teorileriyle bağlantılı olarak ortaya çıkıyor. Bu düşünce deneyi, sonsuz zaman içinde, tamamen rastlantısal kuantum dalgalanmaları sonucunda, bilinçli bir beynin kendiliğinden oluşabileceğini öne sürüyor. Sonsuz Maymun Teoremi’ne benzer şekilde, sonsuz zaman ve olasılık kavramlarını birleştiriyor.

Einstein’ın “Tanrı zar atmaz” (“God does not play dice”) sözü, kuantum mekaniğinin olasılıksal doğasına karşı çıkışını ifade ediyor. Einstein, evrenin temelde deterministik olduğuna, yani her olayın kesin bir nedeni olduğuna inanıyor. Kuantum mekaniğinin getirdiği belirsizlik ve olasılık kavramlarını kabul etmekte zorlanıyor. Ancak günümüzde kuantum mekaniğinin öngörüleri deneysel olarak doğrulanmış durumda ve Einstein’ın bu konudaki determinist görüşü çürütülmüş sayılıyor.

Bu örnekler, sonsuzluk ve olasılık kavramlarının fizikteki temel tartışmalarla nasıl iç içe geçtiğini gösteriyor. Hem mikro düzeyde (kuantum mekaniği), hem makro düzeyde (termodinamik), hem de evrensel ölçekte (kozmoloji) bu kavramlar, fiziksel gerçekliği anlama çabamızda merkezi bir rol oynuyor.

Sonsuz maymun teorisi ile ilgili ortaya konan yeni makalenin önemi ise, determinizm ve rastlantısallık tartışmalarına yeni bir boyut katıyor. Zeno’nun paradokslarında olduğu gibi, sonsuz zaman ve olasılık kavramlarını birleştiriyor, fakat; imkansız görünen şeylerin matematiksel olarak mümkün olabileceğini söyleyen bir teoremi çürütüyor.

Kaynak: 2N News